МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Рассмотрим N молекул газа находящихся в состоянии равновесия в сосуде объема V, при этом их концентрация n = N/V. Давление газа определяется суммой нормальных составляющих всех сил, с которыми действуют отдельные молекулы на единичную площадь стенки.

рис. 1

Для вычисления этого давления возьмем на стенке сосуда площадку dS и направим ось Z перпендикулярно ей, так что эта площадка будет лежать в плоскости XOY, перпендикулярной плоскости рис. 1. Пусть некоторая молекула падает на площадку dS под углом к оси Z. При упругом ударе молекула зеркально (₁= ₂) отразится от площадки dS, сохраняя величину скорости v неизменной (v₁ = v₂ = v). При этом изменение импульса молекулы

(2.7.1)

где m₀ – масса молекулы, – единичные векторы координатных осей.

Из выражения (2.7.1) видно, что вектор изменения импульса молекулы перпендикулярен площадке dS и по второму закону Ньютона равен импульсу силы, действующей со стороны стенки на молекулу, т. е.

(2.7.2)

По третьему закону Ньютона сила , действующая со стороны стенки на молекулу, равна по величине и противоположна по направлению силе – , с которой молекула действует на стенку. С учетом этого равенство (2.7.2) примет вид

(2.7.3)

Чтобы найти число молекул, ударяющихся о площадку dS за время dt под углами от до + d и имеющих скорости от v до v + dv, необходимо проинтегрировать соотношение по всем возможным углам (от = 0 до = 2), т. е.

(2.7.4)

Эти молекулы сообщают площадке dS за время dt импульс силы

(2.7.5)

Подставляя сюда из выражений (2.7.3) и (2.7.4) величины и , имеем

(2.7.6)

Чтобы учесть все молекулы, ударяющиеся о площадку dS с различными скоростями v и под различными углами , необходимо последнее соотношение проинтегрировать по v от нуля до v_max и по от нуля до /2, т. е.

(2.7.7)

Разделив обе части равенства (2.7.7) на площадь dS, получим выражение для давления, производимого газом на стенку сосуда:

(2.7.8)

Вводя в правую часть выражения (2.7.8) постоянную величину, равную концентрации n молекул в сосуде, получим

(2.7.9)

где = m₀n – плотность газа, а – средний квадрат скорости молекулы газа . Формуле (2.7.9) можно придать следующий вид:

(2.7.10)

где – кинетическая энергия поступательного движения молекулы, среднее значение которой

(2.7.11)

Функция распределения по кинетическим энергиям связана с функцией по скоростям молекул соотношением

(2.7.12)

Таким образом, давление (2.7.10), создаваемое молекулами газа, равно двум третям средней кинетической энергии поступательного движения всех молекул, имеющихся в единичном объеме.

Как видно из выражений (2.7.9)–(2.7.11), давление P зависит от вида функции распределения (или ).

Нахождение функций распределения равновесных (и неравновесных) состояний системы частиц является основной задачей статистической физики.